Pourquoi mon enfant pense que 0,25 est plus grand que 0,5

Votre enfant range 0,5 et 0,25 du plus grand au plus petit, et place 0,25 en premier. Ou il vous affirme, sûr de lui, que 3,45 est plus grand que 3,5. Il ne fait pas n'importe quoi : il applique une règle. Le problème, c'est qu'elle ne vaut plus ici.

Une règle qui marchait très bien

Pendant des années, votre enfant n'a comparé que des nombres entiers. Pour eux, la règle est sans faille : un nombre de trois chiffres est plus grand qu'un nombre de deux chiffres, et 100 dépasse 99. Arrivent les nombres à virgule. La règle continue de sembler vraie assez souvent (0,75 est bien plus grand que 0,5) pour que l'enfant la garde. Jusqu'au jour où elle le trompe : 0,25 a plus de chiffres que 0,5, et il est pourtant plus petit.

Les chercheurs appellent ce réflexe le biais des nombres entiers. Une étude publiée en 1989 montrait déjà que ces erreurs viennent des règles des nombres entiers appliquées aux nombres à virgule. Ses auteurs y voyaient un effet naturel de l'apprentissage, impossible à éviter, et conseillaient de s'en servir pour comprendre où en est l'élève.

Le plan d'études l'a écrit

Le plan d'études romand, référence commune à tous les cantons romands, décrit cette erreur dans ses indications pédagogiques : « Une erreur caractéristique est de considérer le nombre décimal comme une juxtaposition de deux entiers. Par exemple, une expression de la vie courante comme “3 francs 10” conforte cette représentation erronée du nombre. Il en découle l'idée que 3,5 est inférieur à 3,45 puisque 5 est inférieur à 45 ».

Le même texte fixe l'objectif de la 8e année : l'élève « compare, ordonne, encadre, intercale des nombres naturels (6e année) et décimaux ayant au plus 2 décimales (8e année) ».

Relisez l'exemple des « 3 francs 10 » : il parle de nous. Nous disons les prix comme deux nombres entiers mis bout à bout, trois francs et dix centimes. Le risque, pour un enfant, c'est de lire 3,10 comme « 3 et 10 », et 3,5 comme « 3 et 5 ».

Pas seulement en 8e

Ne vous inquiétez pas si l'erreur ressurgit plus tard : la tendance ne disparaît pas tout à fait. Pour comparer 1,45 et 1,5, des élèves de fin de primaire ou de début de secondaire, et même des adultes, doivent encore freiner la règle des entiers : on le voit à leur temps de réponse.

Attention aussi au retour de balancier. Chez certains élèves, une autre règle prend le relais : plus c'est court, plus c'est grand, puisque les dixièmes sont plus grands que les centièmes. Cette règle-là donne la bonne réponse pour 0,5 et 0,25, et la mauvaise pour 0,5 et 0,52. Les chercheurs l'observent à mesure que l'apprentissage avance : les erreurs du type « nombres entiers » reculent, celles du type « plus court, plus grand » augmentent.

Trois façons de la défaire

1. Compléter avec un zéro. 0,5 s'écrit aussi 0,50 : cinquante centièmes. À côté de vingt-cinq centièmes, il n'y a plus de doute. Vérifiez seulement que votre enfant comprend pourquoi on a le droit d'ajouter ce zéro (il n'ajoute aucun centième), sinon on remplace une règle par une autre. Une étude montre d'ailleurs qu'un zéro placé en fin de nombre est compris plus tard qu'un zéro placé juste après la virgule.
2. Passer par la droite graduée. Tracez un segment de 0 à 1, partagé en dix. 0,5 tombe au milieu, 0,25 avant, entre 0,2 et 0,3. La position sur la droite dit l'ordre, sans règle à retenir. Le plan d'études demande d'ailleurs que l'élève place et lise sur une droite graduée des nombres ayant au plus une décimale.
3. Comparer colonne par colonne, en commençant par les dixièmes. 0,5 a 5 dixièmes, 0,25 en a 2 : l'affaire est réglée dès la première colonne.

Et l'argent ? Il peut servir d'appui, à condition d'écrire les montants en entier : 0,50 franc, c'est 50 centimes ; 0,25 franc, 25 centimes. C'est la façon de dire les prix qui piège, pas la monnaie elle-même.

Une dernière chose, qui rassure. Dans une étude, un simple retour « juste » ou « faux » sur leurs comparaisons a suffi à faire reculer la règle des entiers chez des élèves de fin de primaire et de début de secondaire, et l'effet tenait encore deux semaines plus tard. Selon une analyse exploratoire de la même étude, le progrès ne s'étendait pas aux calculs avec des nombres à virgule.